Учился в Харьковском коммерческом училище, курса не окончил. Летом 1911 года был сослан в Енисейскую губернию на «вечное поселение». Через несколько месяцев бежал в Китай. Побывал во многих странах (Япония, Корея, Австралия и т. д.). С 1917 года обосновался в Харбине, где «стал кумиром харбинской молодежи» (по воспоминаниям Ю. В. Крузенштерн-Петерец) благодаря сборнику «Киоск нежности» (Харбин, 1920), отмеченному влиянием эгофутуризма. Выпустил в Харбине еще несколько поэтических книг («Оклик мира», 1921, и т.д.). В 1926 году переехал в СССР, где стал преуспевающим поэтом — «Вася-Василёк», «Хороши в саду цветочки». Еще не ушел в забвение текст песни «По долинам и по взгорьям», но как раз этой песни Алымов не писал: в 1929 году он, составляя монтаж для Краснознаменного ансамбля песни и пляски, включил в него «Партизанский гимн» П. С. Парфенова, но Парфенов вопрос об авторстве запутал — текст стали приписывать Алымову. В 1934 в журнале «Красноармеец-краснофлотец» (№ 21) Парфенов рассказал историю создания «Партизанского гимна», однако вопрос об авторстве остался тогда нерешенным, так как в 1935 Парфенов был репрессирован. В 1962 Верховный суд РСФСР подтвердил принадлежность песни Парфенову. Алымов хорошо знал английский язык, поэтому его часто назначали переводчиком к приезжавшим в СССР американским писателям; однако в 1930-е годы он прославился в Москве пьяными дебошами, и от роли переводчика его отставили. Погиб Алымов в автодорожном происшествии. Посмертно было издано его «Избранное» (М., 1953). Поэтическими переводами занимался эпизодически, в харбинской газете «Рупор» за 1922 г. В.А. Резвым была обнаружена подборка его переложений из старинной японской поэзии.